03 - PODE-SE OUVIR A GEOMETRIA DE UM GRAFO? CLASSIFICAÇÃO ESPECTRAL DE DOMÍNIOS GEOMÉTRICOS DISCRETIZADOS VIA LAPLACIANOS DE GRAFOS: UMA ABORDAGEM COMPUTACIONAL BASEADA EM APRENDIZADO DE MÁQUINA

doi:10.47094/ICOLUBRAPECI.2026/RE-3

03 - PODE-SE OUVIR A GEOMETRIA DE UM GRAFO? CLASSIFICAÇÃO ESPECTRAL DE DOMÍNIOS GEOMÉTRICOS DISCRETIZADOS VIA LAPLACIANOS DE GRAFOS: UMA ABORDAGEM COMPUTACIONAL BASEADA EM APRENDIZADO DE MÁQUINA

O presente trabalho investiga a relação entre as propriedades espectrais do operador Laplaciano de grafos e as características geométricas de domínios discretizados, revisitando o clássico problema do inverso espectral proposto por Mark Kac em 1966: “Can one hear the shape of a drum?. A metodologia consiste na discretização de domínios 2D e 3D por meio da triangulação de Delaunay, seguida pela construção de grafos de adjacência e o cálculo laplaciano normalizado. Foram extraídos vetores de características compostos pelos primeiros 50 autovalores, gaps espectrais e momentos estatísticos de ordem superior. Experimentos foram conduzidos com múltiplos conjuntos de dados, incluindo formas sintéticas quasi-isoespectrais e benchmarks consolidados como ModelNet40, ShapeNet e SHREC’17. Nossos resultados demonstraram que classificadores baseados em Ensemble (Random Forest, Gradient Boosting) e Support Vector Machines (SVM) alcançam acurácias superiores a 90% na distinção de classes topológicas. A análise de componentes principais (PCA) e o escalonamento multidimensional (t-SNE) confirmaram a existência de agrupamentos bem definidos no espaço lateral espectral, sugerindo que o espectro carrega informações estruturais sólidas e discriminativas. Conclui-se que, embora existam domínios isoespectrais não congruentes na teoria contínua, a representação discreta via grafos, combinada com técnicas de aprendizado de máquina, permite “ouvir”a geometria de forma eficaz, oferecendo contribuições para as áreas de visão computacional, física matemática. Este estudo expande a compreensão do problema inverso espectral ao demonstrar que a inteligência artificial pode atuar como “ouvido absoluto” necessário para a decodificação da geometria a partir de frequências vibracionais discretas.

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Doi: 10.47094/ICOLUBRAPECI.2026/RE-3

PALAVRAS CHAVE: Geometria Espectral. Laplaciano de Grafos. Aprendizado de Máquina. Problema Inverso Espectral.

KEYWORDS: Spectral Geometry. Graph Laplacian. Machine Learning. Spectral Inverse Problem.

ABSTRACT:
This work investigates the relationship between the spectral properties of the graph Laplacian operator and the geometric characteristics of discretized domains, revisiting the classic spectral inverse problem proposed by Mark Kac in 1966: “Can one hear the shape of a drum?” The methodology involves discretizing 2D and 3D domains using Delaunay triangulation, followed by the construction of adjacency graphs and the calculation of the normalized Laplacian. Feature vectors were extracted, comprising the first 50 eigenvalues, spectral gaps, and higher-order statistical moments. Experiments were conducted using multiple datasets, including synthetic quasi-isospectral shapes and established benchmarks such as ModelNet40, ShapeNet, and SHREC’17. Our results demonstrated that ensemble-based classifiers (Random Forest, Gradient Boosting) and Support Vector Machines (SVM) achieve accuracies exceeding 90% in distinguishing topological classes. Principal Component Analysis (PCA) and t-distributed Stochastic Neighbor Embedding (t-SNE) confirmed the existence of well-defined clusters in the spectral latent space, suggesting that the spectrum carries robust and discriminative structural information. We conclude that, although non-congruent isospectral domains exist in continuous theory, discrete graph-based representation—combined with machine learning techniques—allows one to effectively “hear” the geometry, offering contributions to the fields of computer vision and mathematical physics. This study expands the understanding of the spectral inverse problem by demonstrating that artificial intelligence can act as the “perfect pitch” (absolute pitch) required to decode geometry from discrete vibrational frequencies.

Autores

Felipe Jordão Silva

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